[Dem. Mat. Solow] Ejercicios 2 parte II
2.5 Para cada una de las siguientes preguntas de abstracción inique tantas respuestas como pueda (por lo menos 3)
a) ¿cómo puedo demostrar que dos números reales son iguales?
1. Demostrando que la diferencia es cero
2. Demostrando que uno es mayor o igual que el otro y biseversa
3. Demostrando que ambos son iguales a un tercer número
b) ¿Cómo puedo demostrar que dos triángulos son congruentes?
1. Demostrando que dos ángulos y el lado donde se posan son congruentes en ambos triángulos
2. Demostrando que los 3 lados entre los triángulos son congruentes
3. Demostrando que dos lados y el ángulo entre ellos correspondientes en ambos triángulos son congruentes
c) ¿Cómo puedo demostrar que dos rectas son paralelas?
1. Demostrando que no se intersectan
2. Demostrando no existe un punto P que pertenezca a ambas rectas.
3. Demuestre que sus pendientes son iguales
d) ¿Cómo puedo demostrar que un cuadrilatero es un rectángulo
1. Demostrando que sus diagonales se bisectan y son iguales
2. Demostrando que sus 3 ángulos son rectos
3. Demostrando que es un cuadrado
2.6 Para cada uno de los siguientes problemas 1) planetee una pregunta de abstracción 2) contéstela abstractamente y 3) aplique su respuesta al problema específico.
a) Si a,b y c son números reales para los cuales a > 0, b < 0 y b2 - 4ac =0 entonces la solución de la ecuación ax2 + bx + c = 0 es positiva.
Pregunta de abstracción: ¿Cómo puedo demostrar que la solución de una ecuación cuadrática es positiva?
Respuesta: Demostrando que es mayor que cero
Demostración:
La solución de la ecuación cuadrática es
Sabemos que
Si
Esto es que la soluciíon de la ecuación ax2 + bx + c = 0 es positiva. q.e.d.b) En la siguiente figura, si SU es la bicectriz perpendicular de RT y RS = 2RU, entonces el triángulo RST es equilatero
Pregunta de abstracción: ¿Cómo demuestro que una figura es regular?Respuesta: Demostrando que todos sus lados son iguales
Demostración:
Si SU es bicectriz perpendicular de RT quiere decr que el ángulo <RSU = <UST
RT = RU + UT pero como podemos ver en la figura RU = UT entonces RT = 2RU
Por hipótesis tenemos que RS = 2RU asi que RT = RS
Como el triángulo TUS = triángulo RUS (un lado común, un lado igual y el ángulo entre ellos es de 90°) tenemos que RS = TS
Entonces RT = RS = TS
Por lo tanto el triángulo RST es equilatero. q.e.d.
2.7 Para cada una delas siguientes hipótesis, indique tantas proposiciones como usted pueda (por lo menos 3) las cuales surgen como resultado de la aplicación de un paso del proceso regresivo.
a) El número real x satisface x2 - 3x + 2 < 0
(x - 2)(x - 1)< 0
x(x-3)<-2
-x2 + 3x - 2 > 0
b) El seno del ángulo X en el triángulo XYZ de la figura es 1/ raiz(2)
c) el círculo C consiste de todos los valores de x y y que satisfacen (x-3)2 + (y -2)2 = 25
La circunferencia tiene centro (3,2)
La circunferencia tiene radio 5
La circunferencia corya al eje y en (0,6) y (0, -2).
x2 - 6x + 9 + y2 - 4y + 4 = 25
d) El triángulo UVW es equilatero
UV=VW=UW
<U=<V=<W=60°
el triángulo es isosceles
2.8 Considere el problema de demostrar que "Si x y z son números reales tales que x2 + 6x - 25 = 0 y z2+ x = 3 entonces |z|=2" Al trabajar progresivamente a partir de la hipótesis ¿cuál de los siguientes insisos no son válidos y por qué?
a) z2 = 3 - x Válido
b) z2 = 25/6 - (x/raiz(6))2 Válido
c) (3-z2)2 + 6z2 - 25 = 0 Válido
d) (x + 5) = - 6y2/(x-5) No es válido, en la hipótes no se establece que x sea distinto de 5, al dividir por x - 5 se podría estar dividiendo por cero.
Eso es todo por ahora
Saludos
MπS
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