[Dem. Mat. Solow] Ejercicios 2

El apartado de ejercicios 2 del libro tiene 12 ejercicios que resolveremos de 4 en 4.

2.1 Explique la diferencia entre los procesos progresivo y regrecivo. Describa como trabaja cada uno de ellos y diga que situaciones que compliquen una demostración puede ocurrir durante estos procesos ¿cómo están los procesos relacionados entre si?

Si tenemos que realizar una demostración del tipo si A entonces B, se dice que usamos un método progresivo si tomando A como cierto llegamos a B, y usamos uno regresivo cuando buscamos un método para demostrar que B es verdadero, generalmente se parte del supuesto de que B es verdadero para lograrlo, pero solo será progresivo cuando se parta desde A.
Se relacionan entre si cuando trabajamos B de tal forma que llegamos a A y luego tomamos A y llegamos a B es decir regresivo-progresivo.

2.2 Considere el problema de demostrar que "Si x es un número real, entonces el valor máximo de -x²+2x+1 es ≥ 2" ¿Cuál de las siguientes preguntas de abstracción es incorrecta y por que?

a) ¿Cómo puedo demostrar que el máximo valor de una parábola es ≥ que un número? es correcta.
b) ¿Cómo puedo demostrar que un número es ≤ que el máximo de un polinomio? Es correcta
c) ¿Cómo puedo demostrar que el máximo valor de la función -x²+2x+1 es ≥ que un número? No es correcta pues utiliza los mismos objetos del enunciado, por lo que no es abstracta
d) ¿Cómo puedo demostrar que un número es ≤ que el máximo de una función cuadrática? es correcta

2.3 Considere el problema de demostrar que "Si
R= {números reales x: x²-x≤0}
S= {Números resales x: -(x-1)(x-3)≥0}
T= {Números reales x: x≥1}
entonces R intersección S es un subconjunto de T" ¿Cuál de las siguientes preguntas de abstracción es la más correcta y por qué? Explique lo que es incorrecto en las otras preguntas.

a) ¿cómo puedo demostrar que un conjunto es un subconjunto de otro? es correcto
b) ¿Cómo puedo demostrar que el conjunto R intersección S es un subconjunto de T? No es correcta, utiliza el lenguaje del enunciado.
c) ¿Cómo puedo demostrar que todo punto en R intersección S es ≥ 1?No es correcta, utiliza el lenguaje del enunciado y no corresponde a la demostración
d) ¿Cómo puedo demostrar que la intersección de dos conjuntos tienen un punto en común con otro conjunto? No corresponde al problema

2.4 Para cada uno de los siguientes problemas indique tantas preguntas de abstracción como pueda (por lo menos dos). Asegúrese de qie sis preguntas no contengas símbolos o la notación del problema específico.

a) Si L₁ y L₂ son tangentes a una circunferencia C en los puntos externos e₁ y e₂ de un diámetro d, respectivamente, entonces L₁ y L₂ son líneas paralelas.
¿Cómo puedo demostrar que dos rectas son paralelas?
¿Cómo puedo demostrar que dos rectas no se intersectan?

b) Si f y g son funciones continuas entonces f + g es continua (Nota la continuidad es una propiedad de una función)
¿Como puedo demostrar que una función es continua?
¿Cómo puedo demostrar que la suma de dos funciones continuas es continua?

c) Si n es un entero par, entonces n² es un entero par
¿cómo demuestro que un número es par?
¿cómo demuestro que el cuadrado de un número es par?

d) Si n es un entero para el cual -3n² + 2n + 8 = 0 entonces 2n² - 3n = -2
¿Cómo se puede demostrar que la solución de un polinomio de segundo grado es un entero específico?
¿Como puedo demostrar que la solución de una ecuación cuadrática resuelve un polinomio de segundo grado distinto al de la ecuación?